Il 12 aprile si commemora San Zenone, vescovo di Verona vissuto nel IV secolo. Circa 700 anni prima, un altro personaggio di nome Zenone entrò nella storia del pensiero: Zenone di Elea, allievo del filosofo Parmenide. Quest’ultimo sosteneva che la realtà fosse una e immutabile, in contrasto con chi ne affermava la molteplicità e il divenire. Zenone, per difendere le idee del maestro, elaborò delle celebri aporie spesso chiamate impropriamente “paradossi” con l’intento di confutare le tesi dei suoi oppositori. La più famosa è quella di “Achille e la tartaruga”. Supponiamo di organizzare una gara di corsa tra Achille e una tartaruga. Achille, cavalleresco, concede alla tartaruga un piccolo vantaggio, diciamo un metro. Ma ecco il problema: per Zenone, Achille non riuscirà mai a raggiungerla. Infatti, quando Achille avrà percorso quel primo metro, la tartaruga sarà già avanzata di una piccola distanza d_{1}; mentre Achille copre d_{1}, la tartaruga sarà passata a d_{2}, e così via, all’infinito. Ogni passo che Achille compie per raggiungerla richiede un tempo, e Zenone conclude che occorrerebbe un’infinità di intervalli di tempo per raggiungere la tartaruga. Aveva ragione? L’evidenza ci dice di no: Achille la raggiunge eccome! Ma il ragionamento di Zenone, almeno formalmente, è corretto. La soluzione di questo apparente paradosso arrivò quasi duemila anni dopo, con l’avvento del calcolo infinitesimale. La risposta `e sorprendente: sì, sono necessari infiniti intervalli di tempo, ma la somma di questi intervalli può essere finita. Per comprenderlo, basti pensare a un bastone lungo un metro. Lo dividiamo a metà: prendiamo la parte sinistra \left( \frac{1}{2}\text{ metro} \right) e la mettiamo da parte. Della metà rimanente \left( \text{destra} \right), prendiamo ancora la metà \left( \frac{1}{4} \right), e la mettiamo da parte. Poi \frac{1}{8}, \frac{1}{16} e così via, all’infinito. Sommando tutti pezzi messi da parte, otteniamo esattamente la lunghezza originale del bastone. Cioè
\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+...+\frac{1}{2^{n}}+...=1
Questa è una serie geometrica di ragione \frac{1}{2}. In generale, una serie geometrica è della forma:
x+x^{2}+x^{3}+...+x^{n}+...
con x un qualsiasi numero reale. Se x=2 si ha 2+4+8+16+..., che diverge, cioè la somma è infinita. Lo stesso avviene per qualunque x\ge 1. Ma cosa succede se prendiamo x=-1? Otteniamo -1+\left(-1\right)^{2}+\left( -1 \right)^{3}+...=-1+1-1+1-1+.... Qui le cose si complicano. Possiamo raggruppare i termini così:
\left( -1+1 \right)+\left( -1+1 \right)+\left( -1+1 \right)+...=0+0+0+...=0
oppure così:
-1+\left( 1-1 \right)+\left( 1-1 \right)+...=-1+0+0+0+...=-1
Può una somma avere due valori diversi? Oggi si usa dire che la serie è indeterminata, e non si attribuisce a essa nessuna somma. Tuttavia, storicamente, questo esempio ha dato origine a discussioni affascinanti. Alcuni filosofi e teologi hanno persino visto in questa serie (detta “serie di Grandi”, dal matematico francese Guido Grandi) un’immagine della creazione: dalla stessa espressione che vale zero può scaturire l’unità da cui tutto ha origine.
Franco Obersnel
